Question

【題目】在學習《2．1圓》時，小明遇到了這樣一個問題：如圖（1）、（2）所示，△ABC和△DBC中，∠A＝∠D＝90°．試證明A、B、C、D四點在同一圓上．

小明想到了如下證法：在圖（1）、（2）中取BC中點M，連結AM、DM．則有AM＝BM＝CM及DM＝BM＝CM，即AM＝BM＝CM＝DM，所以A、B、C、D四點在以M為圓心，MB為半徑的圓上．

根據以上探究問題得出的結論，解決下列問題：

（1）如圖（3），在△ABC中，三條高AD、BE、CF相交于點H，連結DE、DF，若∠BAC＝64°，則∠EDF＝__________°．

（2）如圖（4），已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，G為CD的中點，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（E、F不重合）．若∠EGF＝60°，求證：CD＝AB．

Answer 1

【答案】52°

【解析】試題分析： 由(2)易得，點在同一圓上，∴∠1=∠3.

由(2)同理可得，點在同一圓上，∴∠EDH=∠ECH. 可以證得∠2=∠3，

求得∠EDF的度數.

利用探究得出四點在同一圓上，且四點在同一圓上，

∠OGE＝∠OCE，∠OGF＝∠ODF． ∠OCE＋∠ODF＝∠OGE＋∠OGF＝∠EGF＝60°，

進一步證明△COD是等邊三角形．從而得證.

試題解析： 如圖，

在四邊形FBDH中,

由(2)易得，點在同一圓上，

在四邊形中,

由(2)同理可得，點在同一圓上，

且

∠EDF＝52°．

證明：連結OC，OD，OG．

<>

∵OC＝OD，G為CD的中點，∴OG⊥CD．

且

四點在同一圓上，且四點在同一圓上，

∴∠OGE＝∠OCE，∠OGF＝∠ODF．

∴∠OCE＋∠ODF＝∠OGE＋∠OGF＝∠EGF＝60°，

在Rt△CEO和在Rt△DFO中，

又

是等邊三角形．

即