Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）請用直尺和圓規按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：
①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點D；
②過點D作AC的垂線，垂足為點E．
（2）在（1）作出的圖形中，若CB=4，CA=6，則DE=

Answer 1

【答案】
（1）

如圖所示：

（2）
【解析】解：（1）如圖所示；
如圖所示：

（2）解：∵DC是∠ACB的平分線，
∴∠BCD=∠ACD，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，
∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
設DE=CE=x，則AE=6﹣x，
∴ ，
解得：x= ，
即DE= ，故答案為： ．
（1）以C為圓心，任意長為半徑畫弧，交BC，AC兩點，再以這兩點為圓心，大于這兩點的線段的一半為半徑畫弧，過這兩弧的交點與C在直線交AB于D即可，根據過直線外一點作已知直線的垂線的方法可作出垂線即可；
　　　　（2）根據平行線的性質和角平分線的性質推出∠ECD=∠EDC，進而證得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根據相似三角形的性質即可推得結論．本題考查了角的平分線的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，基本作圖，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．