Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的兩條切線，C、D為切點．

（1）如圖1，求⊙O的半徑；

（2）如圖1，若點E是BC的中點，連接PE，求PE的長度；

（3）如圖2，若點M是BC邊上任意一點（不含B、C），以點M為直角頂點，在BC的上方作∠AMN=90°，交直線CP于點N，求證：AM=MN．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）2；（3）證明見解析.

【解析】

試題（1）由切線的性質和正方形的判定與性質得出⊙O的半徑即可；

（2）由垂徑定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，再用勾股定理即可得出結論；

（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定與性質得出即可．

試題解析：（1）如圖1，連接OD，OC，∵PC、PD是⊙O的兩條切線，C、D為切點，∴∠ODP=∠OCP=90°，∵四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，∴∠DOC=90°，OD=OC，∴四邊形DOCP是正方形，∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°，∴DO=CO=DCsin45°=×4=；

（2）如圖1，連接EO，OP，∵點E是BC的中點，∴OE⊥BC，∠OCE=45°，則∠E0P=90°，∴EO=EC=2，OP=CO=4，∴PE==；

（3）如圖2，在AB上截取BF=BM，∵AB=BC，BF=BM，∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°，∵∠AMN=90°，∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，∴∠FAM=∠NMC，∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°，∴∠DCP=45°，∴∠MCN=135°，∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°，在△AFM和△CMN中，∵∠FAM=∠CMN，AF=MC，∠AFM=∠MCN，∴△AFM≌△CMN（ASA），∴AM=MN．