Question

【題目】如圖，直角△ABC中，∠A為直角，AB=6，AC=8．點P，Q，R分別在AB，BC，CA邊上同時開始作勻速運動，2秒后三個點同時停止運動，點P由點A出發以每秒3個單位的速度向點B運動，點Q由點B出發以每秒5個單位的速度向點C運動，點R由點C出發以每秒4個單位的速度向點A運動，在運動過程中：

（1）求證：△APR，△BPQ，△CQR的面積相等；

（2）求△PQR面積的最小值；

（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示運動時間，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6；（3）t=1或．

【解析】試題分析：（1）先利用銳角三角函數表示出QE=4t，QD=3（2﹣t），再由運動得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2﹣t），AR=4（2﹣t），最后用三角形的面積公式即可得出結論；

（2）借助（1）得出的結論，利用面積差得出S△PQR=18（t﹣1）2+6，即可得出結論；

（3）先判斷出∠DQR=∠EQP，用此兩角的正切值建立方程求解即可．

試題解析：解：（1）如圖，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根據勾股定理得，BC=10，sin∠B===，sin∠C=，過點Q作QE⊥AB于E，在Rt△BQE中，BQ=5t，∴sin∠B==，∴QE=4t，過點Q作QD⊥AC于D，在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，∴QD=CQsin∠C=（10﹣5t）=3（2﹣t），由運動知，AP=3t，CR=4t，∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），∴S△APR=APAR=×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），S△BPQ=BPQE=×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），S△CQR=CRQD=×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，∴△APR，△BPQ，△CQR的面積相等；

（2）由（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t2﹣t），∵AB=6，AC=8，∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）

=×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，∵0≤t≤2，∴當t=1時，S△PQR最小=6；

（3）存在，由點P，Q，R的運動速度知，運動1秒時，點P，Q，R分別在AB，BC，AC的中點，此時，四邊形APQR是矩形，即：t=1秒時，∠PQR=90°，由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），過點Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，∴四邊形APQD是矩形，∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=4|2t﹣2|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=3|2t﹣2|．∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，∴∠DQR=∠EQP，∴tan∠DQR=tan∠EQP，在Rt△DQR中，tan∠DQR==，在Rt△EQP中，tan∠EQP==，∴=，∴16t=9（2﹣t），∴t=．即：t=1或秒時，∠PQR=90°．