Question

【題目】如圖，已知拋物線y=mx2+2mx+c（m≠0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4），與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若P是線段OC上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥OA，交AC于點(diǎn)E，連接AP，當(dāng)△AEP的面積最大時，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)D為該拋物線的頂點(diǎn)，⊙Q為△ABD的外接圓，求證⊙Q與直線y=2相切．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣4．（2）P（0，﹣2）；（3）見解析

【解析】

試題分析：審題知：（1）題中已知拋物線上的兩個點(diǎn)，只需將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求解；

（2）此題只需設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，t），并根據(jù)題中關(guān)系，列出△AEP面積關(guān)于t的二次函數(shù)即可求解；

（3）此題應(yīng)先求出圓心Q的坐標(biāo)，在求出半徑，證明圓心到直線的距離等于半徑即可．

解：（1）把點(diǎn)C（0，﹣4），點(diǎn)A（﹣4，0）坐標(biāo)代入：y=mx2+2mx+c（m≠0）得：，

解得：．

所以：拋物線的解析式為：y=x2+x﹣4．

（2）設(shè)點(diǎn)P（0，t）﹣4≤t≤0，則有：PC=t+4，OP=﹣t，OA=4

由PE∥OA可知：三角形CPE，三角形POA，三角形AOC均為直角三角形，

所以：，，解得：PE=t+4

所以：S△AEP=×OA×OC﹣×OA×OP﹣×PC×PE

=×4×4﹣×4×（﹣t）﹣×（t+4）×（t+4）

=﹣t2﹣2t．

所以：當(dāng)t=﹣=﹣2時，△AEP的面積最大，

此時：P（0，﹣2）；

（3）過點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為M，

拋物線的解析式為：y=x2+x﹣4=（x+1）2﹣

所以：頂點(diǎn)D（﹣1，），點(diǎn)M（﹣1，0），AM=﹣1﹣（﹣4）=3

由圓和拋物線的對稱性可知：圓心Q在DM上，QM⊥AB，

設(shè)圓Q的半徑為r，則AQ=r，QM=﹣r，由勾股定理得：

r2=+32，解得：r=，QM=﹣r=，所以點(diǎn)Q（﹣1，﹣）

因?yàn)橹本�y=2與x軸平行，所以點(diǎn)Q到直線y=2的距離為：2﹣（﹣）=，

所以：圓心Q到直線y=2的距離=圓的半徑

所以：⊙Q與直線y=2相切．