Question

【題目】已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=3，CB=4，設(shè)P，Q分別為AB邊，CB邊上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)分別從A，C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求△CPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（2）t為何值時(shí)，△CPQ為直角三角形．
（3）①探索：△CPQ是否可能為正三角形，說明理由．
②P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不變，試改變點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度，使△CPQ為正三角形，求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度和此時(shí)的t值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，

∵∠ACB=90°，CA=3，CB=4，

∴AB= =5，

∵AP=t，

∴AD= t，PD= t，

∴PE=DC=3﹣ t，

∴S= ×t×（3﹣ t）=﹣ t2+ t，

∵S=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴S的最大值為 ；

（2）

解：只有當(dāng)PC2+PQ2=CQ2時(shí)，△CPQ為直角三角形，

∴（ t）2+（3﹣ t）2+（3﹣ t）2+（t﹣ t）2=t2，

解得，t1=3，t2=15（舍去），

∴當(dāng)t=3時(shí)，△CPQ為直角三角形；

（3）

①△CPQ不可能為正三角形，

理由如下：若△CPQ是正三角形，

則PC=PQ，EC=EQ，即t﹣ t= t，

解得，t=0，

∴△CPQ不可能為正三角形；

②設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為a，

當(dāng)CE=EQ時(shí)，即 t=at﹣ t，

解得，a= ，

∵∠PCQ=60°，

∴PE= PD，

解得，t= ．

【解析】（1）作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，根據(jù)勾股定理求出AB，用t表示出AD、PD，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)勾股定理列出算式，求出t的值；（3）①根據(jù)等邊三角形的三線合一列式計(jì)算即可；②設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列式求出a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、正切的概念計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念，掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．